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réflexions sur le rapport Villani/Torossian et deux circulaires ministérielles




mise en ligne: vendredi 15 juin 2018


Introduction
Comme nombre de ceux qui connaissent l’énergie et le travail que depuis plusieurs années Cédric Villani consacre brillamment à faire connaître, voire aimer les mathématiques par tous ceux qui, précisément, les méconnaissent, ou en ont peur, je me suis réjouie fin octobre 2017 d’apprendre que le ministre de l’Education nationale lui avait confié - en binôme avec Charles Torossian, inspecteur général de l’Education nationale - une mission portant sur leur enseignement. Jusqu’à ce jour de février 2018 où le rapport de cette mission intitulé 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques [1] fut rendu public.
Avant cela, quelques mots sur ce que l’on va lire. Les réactions, venant de tous côtés, ont été nombreuses, variées. Si certaines considérations voire préconisations concernant le collège ou le lycée ont généralement semblé bien venues, en revanche celles concernant l’école, bien qu’ayant rencontré scepticismes ou protestations semblent devoir prochainement être mises en œuvre sans que critiques ou mises en garde aient été suffisamment entendues. On trouvera donc ici l’expression de désaccords fondés sur une longue expérience de recherche et d’enseignement [2] .
Au sein d’une priorité nationale, priorité à l’école
« Si priorité est donnée au premier degré, ce n’est pas que cela y aille plus mal qu’ailleurs mais tout simplement parce qu’il faut commencer par le commencement » dit le rapport, ce qui « est donc tout sauf mettre en cause ses professeurs ». (§1.3.)
C’est pourtant l’impréparation des enseignants, qualifiés pour la plupart d’entre eux de « littéraires » qui semble être principalement à l’origine du mal-être mathématique à l’école. Il est bien dommage d’être déclaré – ou de se déclarer – littéraire par défaut. Dommage pour la littérature, et pour les mathématiques. Or, comme le dit Charles Laisant [3] , « Se demander si un enfant a des dispositions pour la Mathématique équivaut à se demander s’il en a pour l’écriture et pour la lecture. » [4] . C’est donc le problème de la poule et de l’œuf. Si les enseignants n’ « aiment pas les mathématiques », cela prouve simplement qu’ils ont été eux-mêmes déjà victimes des difficultés que le rapport cherche à surmonter, et qui ne datent pas d’aujourd’hui.
Elles sont cependant telles, aujourd’hui, que la mesure 17 du rapport propose d’ « inscrire les mathématiques comme une priorité nationale en mobilisant tous les acteurs de la chaîne institutionnelle (recteurs, cadres, formateurs, enseignants) ». Le rapport pose donc légitimement la question, essentielle, de la formation mathématique des enseignants.
Formation initiale, formation continue
Or en attendant que la nouvelle formation initiale soit demain adéquate à son objet, c’est aujourd’hui que les quelque 330 000 professeur.e.s d’école accueillent des enfants du CP au CM2 ; et il est posé d’emblée qu’ils se sentent « fragiles, voire incompétents en mathématiques » ; et de ce fait « suivent une méthode qui les rassure, se raccrochent à des fichiers ‘emprisonnants’ qui font passer à côté des enjeux de la discipline. »(§1.1.2)
Que leur est-il donc proposé, parmi ces 21 mesures et au titre de cette priorité nationale :
- pour se désemprisonner ?
- pour ne plus passer « à côté des enjeux de la discipline » ?
Ce seront ces deux pistes de réflexion(s) qui seront suivies ici .

A « Se désemprisonner »
Pour cela, il est d’abord suggéré de regarder ailleurs.
Question posée d’emblée dans le rapport (§2) : « que faut-il apprendre des pratiques les plus concluantes notamment à l’international ? »
1 « Le cas de Singapour »
Arrive en premier « le cas de Singapour ». Suivront quelques mots sur la Finlande, seront aussi cités les noms de Montessori et Freinet et la nécessité de mettre donc en œuvre des méthodes dites explicites et intuitives. Comme pour atténuer ce qui semble être une prise de position trop affirmée, on lit que « la méthode de Singapour appartient à cette catégorie, mais n’est pas la seule ». Mais la presse ne s’y est pas trompée. Comme c’est décidément Singapour qui apparaît comme « système ayant les meilleurs résultats », les deux ou trois semaines qui suivirent la remise du rapport, ce fut un raz de marée. En présentant au grand public tout à la fois le redressement spectaculaire en une quinzaine d’années de la cité-Etat de Singapour dans les classements internationaux, et son accession à une prospérité économique impressionnante, cette « méthode » dite « de Singapour » (m.S) est apparue comme miraculeuse , géniale, salvatrice. Elle serait même semble-t-il déjà “plébiscitée ” [5].
1.1.La méthode dite de Singapour en action
Avant de regarder de plus près les prescriptions supposées pouvoir nous « inspirer », et dans le calme qui succède à la tempête médiatique revoyons-en une présentation dans une école de Nice , où une voix off nous annonce que “la m.S est déjà appliquée pour les maths” [6] . Ainsi, “dans cette classe de CP de 12 élèves, depuis la rentrée, chaque séance de mathématiques commence par une histoire”.
Un dessin est affiché au tableau : une petite fille –Adèle - semble disposer de 5 wagons, et un petit garçon, -Maël - de 8 wagons et de leur locomotive [7] . La maîtresse “raconte” : Maël a un train ; il donne 5 wagons à Adèle ; Maël n’a plus que 8 wagons.
Combien de wagons avait-il au début ?
Dire qu’il s’agit d’un “énoncé” risquant de faire perdre toute saveur au propos, donc va pour l’ “histoire”. Le dessin affiché rend immédiatement “comptables” les 13 wagons que Maël avait “avant”. Mais comme il ne peut à lui seul porter la richesse théorique de la méthode, la voix off poursuit donc : une fois “le problème posé, les élèves passent à la manipulation avec des cubes aimantés”. Jolies couleurs, mignons enfants, interviews croisées. Petit garçon : j’aime bien avec les cubes : pourquoi ? parce qu’on peut enlever, on peut remettre ; petite fille : c’est facile … pourquoi ? pasque j’y arrive…. Puis, suite de la théorie. Voix off : “Tout l’enjeu est de passer progressivement du concret à l’abstrait ; les opérations sont abordées par couples, par exemple l’addition avec la soustraction”.
Il y a eu le dessin, la manipulation de cubes, la réponse donnée. Reste cependant à faire apparaître le deuxième terme du “couple”. Question à nouveau à la petite fille qui en comptant ses cubes un par un, 5 d’abord, puis 8, puis 13, a trouvé que 5+8 =13. “Est-ce qu’il y avait une autre façon de le faire que par addition ?” “Oui, avec le moins”. Comment ? “treieieize …”. Et hop, la caméra passe à autre chose, on ne saura pas comment le “moins” vient résoudre le “problème” tel qu’il est posé. Peut-être tout simplement parce qu’il n’a rien à y faire.
1.2. Un autre aspect important
Il n’est pas question de vouloir juger la m.S. d’après ce montage de 1 minute 35 ; mais les « témoignages » abondent sur la Toile, ou dans les médias, où elle se déploie, accompagnée de superlatifs extasiés. Non seulement on n’a plus peur des problèmes, mais les enfants les inventent eux-mêmes. Par exemple celui-ci, spontanément imaginé par un jeune CE1 qui énonce : “Idriss a 6 cubes ; Jean-Marc en a 8. Idriss aimerait avoir le même nombre que Jean-Marc. Combien il lui en manque ? ” [8]
L’usage parfait du conditionnel, de la syntaxe, accompagnant l’évidente créativité mathématique du jeune garçon, forcent l’admiration. D’autant que les commentaires qui suivent nous apprennent que les mathématiques sont partout dans la vie de tous les jours, et qu’elles nous aident à “penser” le monde. Ici elles quantifient avec aisance l’appétit en cubes de Idriss, et son souhait de s’aligner sur le capital/cubes de Jean-Marc qui lui, en est mieux pourvu. Mais au fait, pourquoi est-ce Idriss qui envie Jean-Marc ? Et pourquoi …
1.3. Recherche du neuf désespérément
Quels que soient les exemples qui vous seront proposés, ce ne seront jamais que des manières de “faire” archiconnues et utilisées depuis que l’école est ce qu’elle est, inventions de problèmes comprises. Les auteurs-adaptateurs, promoteurs et éditeurs de la “méthode” ne s’en cachent pas. Le rapport V/T non plus : « La méthode employée à Singapour n’est pas une « méthode de Singapour » dans le sens où elle aurait été inventée à Singapour ex nihilo : c’est une synthèse de pratiques didactiques et pédagogiques efficaces  [9] , reposant sur les travaux de nombreux chercheurs ou s’inspirant de textes plus anciens. »(§2.1.2)
Donc, la méthode employée à Singapour (M.S) n’est pas une méthode de Singapour, et la méthode utilisée en France et se réclamant de Singapour (m.S.) n’est pas la M.S. Pour adapter celle-ci au public français, l’éditeur, La Librairie des Écoles (L.d.E.), annonçait déjà en en 2008 et en quelques lignes qu’il a “conçu de nouveaux contenus, de nouvelles maquettes, de nouvelles illustrations qui sont sa propriété. Ces nouveaux contenus ne sont donc pas imputables au Ministère de l’Education de Singapour.” [10] Voici qui est clair.Quant à la nouvelle édition de 2016, elle dit à nouveau en page 4 du fichier CP s’être “adaptée” à nos nouveaux programmes - ceux de 2015 - à partir de leurs préconisations officielles. On a donc tout simplement des contenus alignés sur les nôtres, passés ou présents. Qu’en attend-on en les baptisant « de Singapour » ? Obtenir magiquement ce qui fait l’efficacité à Singapour de la M.S. ?
Pour le savoir, il faut aller au delà des images d’enfants mignons et du battage médiatique. Et le moyen nous en est paradoxalement donné par le rapport.

2 « L’iceberg singapourien »
2.1. Les piliers fondamentaux de la méthode
Pour expliquer ce que sont les conditions progressivement mises en place à Singapour, et aboutissant aux succès que l’on sait dans les évaluations internationales, le rapport nous apprend qu’elles reposent sur trois piliers fondamentaux (§2.1.2.) :
« Le niveau macro (facteurs socioculturels et économico - politiques), le niveau organisationnel (qualité des écoles, de la formation des professeurs, du curriculum, etc.), et le niveau familial (socialisation et parentage) » ; ajoutant qu’« il est évident que ces facteurs ne sont pas transférables d’un pays à l’autre, notamment la dimension liée à la culture confucéenne, mais ces trois piliers doivent nous inspirer ».
L’énumération des piliers fondamentaux et un renvoi de note montrent qu’elle est tirée d’un article consultable sur Internet ; article qui semble prouver que ce sont précisément ces « facteurs non transférables » qui font la réussite de la M.S. à Singapour. En le consultant on reste simplement médusé, et on se demande si en y renvoyant, les auteurs du rapport l’ont vraiment lu. [11]
Cet article donc, passionnant dans l’analyse qu’il fait de la réussite singapourienne, rend totalement évidente sa non-transférabilité. Mieux encore : une fois décrits les moyens utilisés dans cette cité-Etat de 5, 8 millions d’habitants, dont l’indépendance date de 1965, au régime politique [12] assimilé à une “démocratie autoritaire” ou “dictature bienveillante”, et les modalités de l’obtention de sa réelle excellence, l’auteur conclut par une mise en garde non déguisée : “Par ailleurs, l’extrême sélectivité et le fort engagement professionnel attendu des professeurs depuis quelques années imposent une manière d’accompagner les professeurs et d’encadrer le monde scolaire non comme un univers ‘éducatif ’ en tant que tel, c’est à dire avec tout ce que ce mot signifie d’humanité et de croissance globale (et non seulement académique, scolaire) mais bien comme un ‘système’, c’est à dire un univers aux rouages planifiés dans un objectif affiché de performance et réussite académique.”
2.2. Ni m.S ni M.S, ni transférable : alors quoi  ?
Résumons-nous. Fond et forme. Pour ce qui est du fond, la m.S. n’est pas la M.S., mais une mosaïque de ce que connaît ou a connu l’école en France ; et pour ce qui est de la forme… le système singapourien, particulièrement, n’est pas supposé être transférable en un autre lieu qu’en celui dont il a tiré son nom.
Cerise – amère - sur le gâteau : ayant démontré que la composante pédagogique n’était qu’une des nombreuses variables qui font la réussite du système, l’auteur de la recherche ajoute que “les effets réels sur l’apprentissage de l’implantation d’un programme singapourien dans un district Américain est parlante : cette étude conclut qu’aucune différence significative n’a été apportée par l’utilisation des ressources singapouriennes dans le district pilote, voire une baisse de réussite pour l’ensemble des élèves les plus performants est observée. [13]
Alors, tout ça pour ça ?

3 Des leçons modèles
Même si un scepticisme généralisé accueille, donc légitimement, la supposée « nouveauté » de la m.S., la “théorisation” qu’elle propose de la leçon “parfaite ” ne semble pas beaucoup émouvoir. Il y aurait pourtant de quoi.

3.1. Procéder par étapes
Répertoriées dans les « dispositions les plus simples et efficaces », dont on est supposé pouvoir « rapidement se saisir » on trouve donc « des étapes d’apprentissage bien identifiées. » (§2.1.2.)
Trilogie proposée : « l’étape concrète, l’étape imagée, l’étape abstraite ». Autrement dit des mathématiques en tranche napolitaine, ou singapourienne, repeintes en bleu blanc rouge. Mais comment est-il encore possible d’imaginer, en France, au XXIème siècle, que l’on peut enseigner à des enfants munis de cerveaux en état de marche quelque matière que ce soit en “réservant” l’ « abstrait » pour la fin ? Sauf peut-être, à assigner au cerveau lui-même de répondre par tranche correspondante à ce concret/imagé/abstrait ?
3.2. La « verbalisation »
Une fois ce parcours effectué, - et il n’est pas question de brûler les étapes ! - il importe de mettre en place la « verbalisation ». Chronologie cette fois incertaine, car on trouve dans l’énoncé de la 5ème des 21 mesures :« dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur : la manipulation et l’expérimentation ; la verbalisation ; l’abstraction. »
Alors, angoissante question : cette verbalisation où la met-on ? Et d’abord que signifie ce mot peu engageant ?
Recours au dictionnaire [14] : action de verbaliser. Et verbaliser ? Significations : 1 Bavarder, palabrer, tombées en désuétude ; 2 dresser un procès verbal : 3 s’exprimer au moyen du langage. Alors de 2 ou de 3, laquelle ?
Il est à parier que si c’est après une « manipulation » et avant l’apparition de l’ « abstraction » ce n’est pas sur sa pensée que l’enfant pourra mettre « un haut-parleur », mais sur ce qu’il a fait : j’enlève les cubes, je les remets, je les ai comptés… : donc signification 2, procès verbal ; si c’est après l’apparition de l’ « abstraction » : “j’ai fait un plus ”, “j’ai fait un moins [15] , l’enfant s’exprime , signification 3 ; mais ce sera à nouveau non pour s’exprimer lui-même, mais pour exprimer ce qui aura été pensé pour lui. Pourquoi ? Parce que « s’exprimer » suppose de faire partie intégrante du processus d’apprentissage, et n’en constitue pas, non plus, une “tranche” posée par dessus ou entre d’autres.
Revenons justement sur la chronologie que met en jeu la tranche napolitaine : si l’image “observée” au tableau a suffi pour trouver 13, pourquoi les cubes ? Si les cubes ont permis de trouver 13, pourquoi l’image ? Il y a de quoi faire périr d’ennui ceux auxquels l’une des façons a permis de trouver, sans mal d’ailleurs puisqu’il suffit de compter. Quant à beaucoup d’autres, la recette concret/imagé risque en étirant le processus de définitivement compromettre l’« abstrait ». Contrairement à ce que l’on pense, ce sont les enfants des milieux dits “défavorisés” qui en souffriront le plus [16].

4 Il n’existe pas de leçon modèle
4.1. Enseigner à des enfants vivants
Dans toutes les “séances” en classe auxquelles j’ai assisté, l’enseignant.e avait un but qu’il ou elle s’était assigné.e, et un plan pour tenter d’y parvenir, par des « aller-retour » de paroles, annonçant le projet, posant des questions. Seulement, il peut arriver, quand on a affaire à des enfants vivants, que les choses ne se passent pas toujours comme prévu, et j’ai toujours admiré les petites arabesques, les retours, vérifications que maître ou maîtresse improvisaient pour tenir compte d’une question, d’une erreur, d’une proposition, tâchant de parvenir tout de même au but fixé avant qu’une sonnerie de récréation vienne ruiner l’entreprise. Et quand bien même ce serait le cas, on reprendrait le lendemain, en tirant la leçon de cette “leçon”.
C’est dans la liberté “réfléchie” de ses choix et de ses démarches que se constitue l’expérience d’un.e enseignant.e, laquelle n’est autre qu’une série de réponses toujours renouvelées à des questions qui le sont également. Espérons donc qu’ils ou elles ne se laisseront pas séduire par le mythe d’une “leçon modèle”, et que restera intacte la rencontre entre leur désir de transmettre un savoir et le désir des enfants de se l’approprier. Et ce désir, les petits l’ont, et combien, quand à la moindre question posée, on les entend pousser de petits cris inarticulés et rivaliser de hauteur de doigts levés pour répondre.
C’est au sein de cette double créativité que se déroulent généralement les leçons de tous ordres. Reste à savoir pourquoi ce travail n’obtient pas en mathématiques les résultats qu’il devrait obtenir.
4.2. Une situation difficile
Le rapport semble considérer que « l’impréparation » des enseignants, l’insuffisance de leur temps de formation, y sont pour quelque chose. « Actuellement, nombreux sont les professeurs des écoles qui se sentent fragiles, voire incompétents en mathématiques » . (§1.1.2) Mais il n’y a pas que cela : « Pour atteindre l’objectif fixé , il est impossible de s’en tenir à la seule relation pédagogique, qui a pour cadre la salle de classe. La classe se trouve dans une école ou un établissement, qui eux-mêmes appartiennent à une académie. C’est dire que l’amélioration de l’enseignement des mathématiques n’est pas uniquement l’affaire des professeurs, des savoirs et des élèves : cela concerne l’ensemble du système. » (§1.3.)
Bien sûr. C’est un immense chantier que celui qui fut confié aux signataires du rapport. Des mesures positives sont le dédoublement des classes de CP en REP, le travail en équipe [17] , et une future formation initiale solide. Et il est vrai que la pédagogie n’est qu’une des composantes d’une institution complexe lourde et difficile à faire évoluer. Mais rien ne sera obtenu sans elle. Or tout ce qui est proposé aujourd’hui et maintenant, c’est de l’emprisonner dans un lieu étouffant, où tout le monde n’a qu’à faire ce qu’on lui dit de faire ; avec ces deux tours d’écrou supplémentaires que sont deux récentes circulaires [18] du ministère qui viennent étoffer deux « chapitres » du rapport, la première sur le calcul - ici C1- la seconde sur les problèmes, - C2 -.
4.3 Une analyse absente
Alors qu’il est pourtant bien dit que la formation des professeurs des écoles « doit être capable de les aider à renouer (voire se réconcilier) avec les mathématiques », et qu’elle doit « s’articuler avec la pratique du métier », rien n’est dit de ce à quoi ils s’affrontent tous les jours sous le nom de « mathématiques ».

5 Les mathématiques : une “matière”
5.1. Une métaphore saisissante
Dans une belle conférence [19] parmi les très nombreuses qu’il donna avant qu’ait été rendu le rapport, Cédric Villani, comme bien souvent, est revenu sur ce qui semble évident à quiconque pratique des mathématiques à quelque niveau que ce soit. Après avoir brillamment “démontré” comment elles ont “façonné l’histoire humaine”, et affirmé la nécessité pour l’école de donner à tout un chacun des bases élémentaires de calcul “pour se débrouiller ”, enfant ou adulte, dans la vie quotidienne, il explique qu’elles apprennent “à penser d’une manière particulière, logique et abstraite à la fois…Les mathématiques c’est abstrait. C’est forcément abstrait, et c’est pas naturel. Alors on peut se dire on va faciliter le truc en présentant une métaphore concrète et puis comme çà au lieu de parler de ‘ trois’ on mettra trois oranges et ça simplifiera, sauf que si on fait çà, on loupe l’essentiel : l’essentiel c’est après d’apprendre à manipuler le chiffre trois comme une bête abstraite.” [20]
Comme une bête abstraite ! Merveille des métaphores, celle-ci opposant à la placidité végétale de trois agrumes au repos une créature qui bougera, bondira, entraînant l’imagination. Trois : nombre, forme, le premier “beaucoup” [21] , le premier nombre premier impair, premier nombre triangulaire, et seul à être premier, ordre du plus petit carré magique additif, du plus petit carré magique multiplicatif, etc, etc. C’est bien parce qu’il faut lui laisser une chance d’assumer toutes sortes de fonctions différentes – dénominateur, exposant, et autres - qu’il faut, tout de suite, distinguer 3 et 3 oranges, un nombre et un nombre d’oranges [22].
5.2. En finir avec le concret et l’abstrait
C’est depuis des décennies que « concret » et « abstrait », alimentent pour le plus grand malheur de tous des débats aussi rigoureux que des dialogues de sourds [23] ; que concret ou imagé sont tels qu’ils font « louper l’essentiel » et nous mènent là où nous en sommes aujourd’hui.
Car manipulation, concret, représentations, pour servir l’ « abstrait », sont prescrits et mis en œuvre depuis bien longtemps, et si vous ouvrez les armoires des classes de CP et CE1, vous y trouverez tout ce avec quoi on fait compter les enfants, trombones, gommettes, buchettes, haricots secs, jetons, et tout ce que l’ingéniosité des enseignants peut inventer ; consultez les fichiers, les pages sont principalement occupées de dessins joliment colorés et destinés au même usage que trombones ou haricots. Pourquoi le travail des enseignants est-il sans relation avec les résultats obtenus ?
Bien loin de souffrir de ne pas être concrètes, c’est de« concrétude » [24] qu’étouffent les mathématiques du nombre à l’école. Autant sont féconds en géométrie dessins, découpages et recours à des formes en 2D ou 3D [25] , autant avoir immodérément recours aux objets pour élaborer et assurer une “descendance” au “concept” de nombre est contre-productif. On ne pourra pas m’accuser d’improviser cette remise en cause. Je disais déjà en 1973 que « l’enfant livré au matériel est un enfant abandonné » ; [26] comme est abandonné l’enseignant qui attend que soient enfilés 5 cubes, puis 8 cubes, pour que l’enfant trouve 13, comme est absent à lui-même l’enseignant qui, pour que l’enfant trouve combien de biscuits il y a dans 10 boîtes de 25, attend qu’il les ait dessinés [27] ; comme sont gaspillées pour les uns et les autres de précieuses minutes de vie, et les occasions de mettre en jeu imagination et intuitions puisqu’en fin de compte, il n’est que de compter [28] .
Et c’est donc pour réparer les méfaits du « concret » qu’il est proposé d’en augmenter la dose.

6 Parenthèse : quelques éléments “d’histoire” pour comprendre les préconisations d’aujourd’hui
6.1. Des mathématiques récusées
Il n’est pas, aujourd’hui, de mot assez dur pour dire du mal de “la réforme des maths modernes” [29] , et on ne s’en prive pas. Ce n’est pas mon propos. Un beau projet – de “vraies” mathématiques, dans une cohérence de contenus et de langue “de la maternelle à l’université” – a connu une mise en œuvre qui lui a été fatale.
Le drame n’est pas seulement cet « échec retentissant » reconnu par le rapport (§3), mais ses conséquences au sein des “politiques enseignantes” qui ont suivi . Parce que consubstantielle à la nouveauté de la matière proposée, l’abstraction, devenue l’ennemie, fut jugée comme étant la source de tous les maux.
La réaction au « désastre » a donc consisté à la bannir sous toutes ses formes, concepts et formulations, et à quelque niveau que ce soit. C’est peu de dire qu’il fallait brûler ce qu’on avait adoré, il fallait même en oublier l’existence. Et pour ce qui est de l’école, elle revint aux contenus et traditions de l’école primaire, qui ne préparait pas aux mathématiques du “secondaire”.
6.2 Effets secondaires
Les enseignants qui avaient consacré du temps, éprouvé du souci, de la peine, à se frotter à des union et intersection d’ensembles, à des relations et concepts nouveaux, furent invités à ne plus se compliquer l’existence. Et ceux qui n’osaient plus s’exprimer de peur de “mal faire” en disant par exemple que deux segments étaient égaux, alors qu’il fallait les dire “isométriques” purent retrouver la parole et les formulations traditionnelles. Comme le dit Jean-Pierre Demailly [30], Il y a eu un retour de balancier, et là on a tout viré !
Ainsi, depuis plus de quarante ans l’institution vit dans la peur, la peur qu’en proposant des mathématiques à l’école ou au collège, il s’y glisse de l’abstraction.

7 Les mathématiques (modernes ou pas) : une langue
7.1. Les mots des mathématiques
Interrogé sur le rôle et la nature de la langue des mathématiques [31] , sur le plaisir évident qu’il semblait éprouver à en utiliser les mots, et la possibilité de transmettre ce plaisir aux enfants, Cédric Villani avait évoqué, à propos de cette “question subtile” : “d’un côté il y a le plaisir des mots et, la marge est fine entre le plaisir du mystère et le problème de la pédanterie.”
Le “plaisir du mystère”, serait par exemple celui qui ennuage une hypoténuse, venue du grec, et le “risque de paraître pédant” celui d’utiliser ce mot savant alors qu’on pourrait ‘simplement’ dire le plus grand côté, qui dans un triangle rectangle est identifiable sans ambiguïté. Mais bon, en pareil cas, va pour les deux utilisations nous dit Cédric Villani. En revanche, il déclare décidément “pédante”, la présentation – apparue avec les “maths modernes” - du vecteur, comme classe d’“équipollence de bipoints” [32] , et pense que c’est une définition à écarter ; d’autant qu’“un vecteur, tout le monde sait ce que c’est ”. Mais … Cela ne semble pas se faire sans regrets… Avec cette définition, “on est dans l’excès”, mais nuance-t-il, son utilisation “n’était pas dénuée d’avantages … ”
Bien sûr on peut, pour la notion évoquée dire les choses autrement. Mais quand il faut un paragraphe à la place d’un mot [33] , que devient alors l’économie de pensée, qui féconde la pensée nouvelle ? La notion d’“équipollence” a disparu des programmes, mais n’étant effectivement “pas dénuée d’avantages”, elle manque pour distinguer la “matérialité” d’un couple de points de l’immatérialité d’un vecteur ; manque également “isométrique” qui permet pour deux segments distincts qui sont donc des figures distinctes, de dire qu’ils ont même grandeur, leur longueur. Bien d’autres mots ont disparu, qui ont vidé les mathématiques de moyens d’analyse, de pensée. On dit équivalent, pourquoi pas équipollents ? on dit isocèle, et système métrique , pourquoi pas isométrique ? Les mots ont besoin de se polir et de vieillir, paisiblement. Certains de ceux révélés par les maths modernes eussent pu survivre et servir le sens, on ne leur en a pas laissé le temps.
L’excès n’est-il pas seulement dans la peur de faire peur ?
7.2 Une analyse non abordée
Citons Paul Valéry : “Science et poésie peuvent se concevoir comme des développements divergents de propriétés et de possibilités qui sont confondues dans l’usage commun de la parole.” [34] Usage commun qui est tout de suite abstrait et susceptible de se ramifier en voies multiples, et de faire que se comprennent, des années plus tard, parce qu’ils parleront la même langue issue d’un tronc commun, deux géographes, deux biologistes, deux neuroscientifiques– mais oui ! – deux astrophysiciens, deux philosophes, deux économistes, qui diront alors s’ “exprimer dans leur jargon” . Mais non, ce sera dans une langue de savoir. Les langues de savoir seraient-elles “pédantes” ?
Une réflexion autour d’une langue rigoureuse et d’une “métalangue” pour la produire qui doit l’être tout autant manquent cruellement à l’école, et dans la partie du rapport qui lui est consacrée. Encore une fois, en raison d’une tradition et d’une histoire qui sont les siennes, l’école se confronte aujourd’hui à une matière inextricablement embrouillée et à une langue inadéquate à son objet. Tradition et instructions officielles étant ce qu’elles sont, ce sont en effet les premières ramifications mathématiques de cet usage commun de la parole, et des “concepts” qui vont avec, qui manquent au travail que font les enseignants.
Difficile en pareil cas de ne pas risquer, bien involontairement, et quel que soit le travail accompli, de ne pas « passer à côté des enjeux de la discipline »(§ 1.1.2.)

B Ne plus passer à côté des enjeux de la discipline
« La résolution de problèmes doit être au cœur de l’activité mathématique tout au long de la scolarité obligatoire. Elle participe du questionnement sur le monde et de l’acquisition d’une culture scientifique, et par là contribue à la formation des citoyens. » (C2). Voyons cela.

1 Les problèmes
1.1. Tribulations passées et présentes
Un peu d’expérience de terrain montre vite combien le seul mot de « problème » fait peur à une majorité d’élèves ; et un peu de longévité dans le métier renvoie aux étonnantes initiatives qui virent le jour pour y remédier. Il faut dire qu’après le séisme planétaire des “maths modernes” un autre séisme, “hexagonal” cette fois, avait révélé à quel point les élèves combinaient les nombres d’un énoncé pour donner l’ “âge du capitaine” sans aucun souci du sens [35] nos élèves “ratèrent” massivement le problème suivant :
Une bouteille de jus de pommes coûte 1,87 zeds.
Une bouteille de jus d’oranges coûte 3,29 zeds.

Julien a 4 zeds
Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ?

A 1,86 Zeds B 1,16 zeds C 5,06 zeds D 5,16 zeds
« Cet exemple met en lumière les difficultés qu’il convient de résorber » dit encore C2 . Voyons ce qu’elle propose de mettre en œuvre pour y parvenir.

1.2. Conseils pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés
Il est d’abord proposé aux enseignants de faire en sorte que leurs élèves soient « en mesure de comprendre le problème posé », d’« établir une stratégie pour le résoudre », de la mettre en œuvre, et de « prendre du recul sur leur travail » pour s’assurer de son efficacité. Voici qui est stimulant et nouveau.
Si pourtant cela n’avait pas suffi, il y aurait lieu de travailler plus spécialement les deux compétences fondamentales qui s’avèrent défaillantes chez les élèves :« modéliser et calculer ».

1.3. Difficulté à modéliser : que faire ?

Une fois mis en œuvre les conseils généraux à suivre de toute façon, l’exemple suivant, à partir d’une copie d’élève, explique comment aller plus loin.
Lise a 10€. Le magazine qu’elle aime coûte 3,49€. Un stylo coûte 1,29€. Combien lui manque-t-il pour acheter deux magazines et trois stylos ?
Coiffant le calcul posé – et correct - de 3 fois 3,49 la réponse donnée est : Il lui manque 10,47€ .
« Remédiation » proposée : on peut inviter les élèves « à effectuer une représentation de la situation, ou même à reproduire la situation en utilisant un matériel approprié, comme des images représentant les articles achetés et de la monnaie factice ».
On a du mal, ici, à imaginer que nous sommes en 2018, et qu’il s’agit de « mathématiques ». Cette “histoire” et son dénouement ne font que confirmer la “déréalisation” que produisent les innombrables « situations » pourvoyeuses d’innumérisme mettant en jeu l’argent, et que subissent les élèves dès le CP [36] ; énoncés archaïques, artificiels, et « hors mathématiques », hérités de l’ancienne école, avec de “jolis” prix générateurs de retenues ! “Histoire” parfaitement arbitraire, qui plus est : le magazine que Lise aime coûte 3,49€. Pourquoi en acheter 2 ? Et pourquoi 3 stylos ? Où est l’invite logique à raisonner ? Et au fait, où sont ce 2 et ce 3, qui passent à la trappe sous forme de deux et trois ainsi rendus invisibles, et inutilisables ?
On propose aux enfants un énoncé défaillant tant du point de vue du fond que de la forme, et ce sont eux qui ont des difficultés ? Ah j’oubliais . On peut réparer les dégâts en “concrétisant” le tout : images de magazines et de stylos (dessinées, découpées ?) ; « monnaie factice » : mais là, comment fait-on ? Il faudrait mettre en face de chaque magazine 3 € 49 centimes et de chaque stylo 1 € 29 centimes . Mais où les prendra-t-on ? Les 10€ de Lise sont-ils sous forme d’un tas de centimes dans lesquels puiser pour savoir si finalement il y en aura assez ?
Ce cauchemar pédagogique ne suppose que de savoir compter, et de prévoir une journée pour s’y consacrer.

2 Les quatre opérations dès le CP
« Modéliser » : en gros, à l’école, savoir quelles opérations utiliser.
Justement dès sa 11ème mesure, puis dans le paragraphe 2.1.2 consacré aux « pédagogies efficaces », le rapport aborde cette question.
2.1. La chorégraphie des quatre opérations
Deux par deux, ou quatre à la fois, en avant, en arrière… Un chorégraphe reconnaîtrait peut-être dans les apparitions et retraits successifs de nos « quatre opérations » dans les programmes quelque danse à deux ou à quatre temps.
La question de la pertinence à être de cette simultanéité le plus tôt possible, avait une fois de plus été posée et débattue en 2006 ; j’avais été de ceux qui avaient tenté d’en signaler les dangers. Mais soutenues par l’Académie des sciences à laquelle le ministre d’alors, Gilles de Robien avait demandé un avis [37] , ces « quatre opérations » furent promues et promises en janvier 2007, mais sans autre effet que celui de l’annonce.
Mais aujourd’hui : et alors que le choix de l’opération ou des opérations à faire est précisément ce qui, plus encore que toute autre chose produit cet « élève en souffrance » décrit dans le rapport (§1.2.1), voici qu’elles réapparaissent sans que soit prises en compte les réalités du terrain, et les avis défavorables de nombre de praticiens. Le remède est-il vraiment faire souffrir l’élève dès la maternelle en lui proposant “sérieusement” « les quatre opérations [38] » simultanément ?
2.2 Un drôle d’exemple
Que penseraient du problème suivant [39] posé à des enfants de 7 ans les éminentes personnalités qui les recommandent tout aussi sérieusement ?
« Maman » « a 4 boîtes de 6 œufs » ; il faut choisir, dessins à l’appui : six plus quatre – tous œufs dessinés - , six moins quatre - quatre sur les six sont barrés, six fois quatre - vingt-quatre œufs dessinés-, et six divisé par quatre : et là, la « division » figurée coupe forcément deux œufs en deux ! A-t-on précisé si on les avait durcis ?
Les « quatre opérations » méritent mieux que ces amusements adultes à partir de désarrois enfantins. Vouloir les mettre « sur un pied d’égalité » est non seulement irréaliste, mais nocif, dans cet ordre ou dans l’ordre inverse. D’autant qu’une fois choisie l’ « opération », l’enfant n’a plus qu’à compter pour donner la réponse.
Quand on sait ce que les trente années précédentes ont produit, proposer des QCM consiste à officialiser un mode de « résolution probabiliste » implicitement utilisé par les enfants aussitôt que plus d’une « opération » intervient dans la résolution ; autrement dit est pour l’instant proprement suicidaire.
2.3 L’ « entrée en scène » de chaque opération.
Pour que les enfants comprennent ce qu’est une « opération », qui est du ressort d’une décision à prendre, il faut d’abord qu’elle soit rendue nécessaire , non liée à une question/signal, et indépendante du « combien ça fait », c’est-à-dire du calcul du résultat.
Evidemment cette “nécessité” met en jeu des matériaux constitutifs de l’univers enfantin au prix d’un certain artifice qu’il peut y avoir à les mettre en scène. Mais il conviendrait de ne pas tomber dans l’arbitraire absolu : que feront, Adèle des 5 wagons qu’on lui aura donné, sans locomotive, et Lise avec magazine et stylos surabondants ? C’est très vite que les enfants comprennent que tout ce que l’on attend d’eux, s’il faut additionner deux nombres ou les soustraire, c’est de dire « combien ça fait ».
2.4 Quelles opérations choisir ?
Si on veut être efficace et réaliste, deux opérations sont nécessaires et suffisantes en CP. Alors lesquelles ? Addition/soustraction ? Addition/Multiplication [40] ?
Comme deux n’est pas quatre, la question d’un choix n’est même pas posée.

3 Le calcul : un enjeu majeur
En effet. Le rapport se désole à juste titre, et comme le constatent depuis des décennies les professeurs de collège, lycée, voire université, de l’incroyable déficit des élèves en matière de calcul. La question n’est pas nouvelle. Et si on consulte la littérature pédagogique qui a l’âge de l’école, on y découvre des méthodes « sans larmes » pour la table de multiplication, le calcul mental, tout comme aujourd’hui. Divers artifices ont eu cours, comme travailler sur des nombres d’ “usage courant”. Par exemple on voit aujourd’hui en 6ème que savoir “diviser par 0,5 c’est multiplier par 2”. Et par 0,4 ? On n’en sait rien.
Le calcul n’est que torture pour les enfants si la numération n’est pas transparente, limpide. C’est depuis plus de quatre décennies que, exemples à l’appui, je constatais que les enfants parlent une langue du nombre qui elle, ne leur parle pas .
Rien de tout cela n’a changé, les choses se sont en effet aggravées. Un exemple particulièrement mis en lumière dans le rapport et donné à plusieurs reprises dans des interviews par monsieur Torossian c’est que les élèves « ne savent » pas ce que « fait » 36,1× 100. Comment le sauraient-ils si la langue des nombres leur est étrangère ? Que proposent rapport et circulaires pour qu’il en soit autrement ? De rappeler à ces élèves qu’on leur a pourtant bien fait comprendre 100 avec une plaque carrée ?
On n’ose pas imaginer les dégâts que produiront, si elles sont mises en œuvre, les préconisations de séances de 30 à 45 minutes de calcul mental ! (C1)

4 La numération
Nous voici - géométrie mise à part - aux fondements de l’immense et complexe problématique des mathématiques à l’école. C’est-à-dire aux premières années de la relation que les enfants auront au nombre, et aux nombres.
5.1 Une numération des origines
Le “compter” du “lire, écrire, compter” de la devise républicaine a amplement rempli son office lors de son instauration. Mais les conceptions de l’apprentissage du système décimal, puis du système métrique sont à leurs débuts frappés d’archaïsme. En 1882 comme aujourd’hui, tout se passe comme si les bouleversements de la mise en place de l’écriture décimale des nombres – après celle, millénaire, en chiffres romains - , et celle du système métrique – après le règne, millénaire aussi, de l’extraordinaire chaos des unités de mesure dont se plaignait Talleyrand [41] -, étaient des nouveautés datant de la veille, dérangeantes, voire effrayantes.
Avec, en numération, ce fameux zéro qui a si longtemps fait peur, et qui continue ses méfaits autrement. Parcourez les récents fichiers [42] de la m.S., vous y verrez tous les défauts qui font que les enfants pleurent au bout de deux mois de CP : un « 10 » survenu sans justification , l’assimilation du zéro chiffre et du zéro nombre – “quand il n’y a pas de fruit, il faut dire 0” (CP p.8). Á ce compte-là, il faudrait écrire dix-huit, 108, et en répertoriant tout ce qu’“il n’y a pas” autour de soi , dire zéro toute la journée !

5.2 Identifier les archaïsmes pour les dépasser
Immense domaine donc, que celui de la numération, que le rapport n’aborde pas, si ce n’est pour signaler (§1.2.3.) « le problème réel de l’irrégularité des nombres de 70 à 99 ». Jusqu’à quand les « chercheurs » pourront-ils brandir cette irrégularité pour s’en faire un cache, qui consiste à occulter la façon archaïque d’aborder la numération ?
La prolifération de tableaux – dès deux chiffres ! - une énonciation “hors la vie courante” des nombres, en “unités dizaines, centaines” - qui a jamais dit à un élève “ça fait trois dizaines six unités fois que je te dis de t’asseoir ?” - les choses, les grandeurs, assimilées à des nombres, le continu assimilé à du discret… Et puis, tous ces “tas” d’objets « concrets » laborieusement constitués et ficelés pour comprendre pourquoi notre numération est à base dix. Alors que nous avons dix doigts !
Une mise en perspective que le rapport n’évoque même pas consisterait à reconsidérer, en douceur, ce que sont les archaïsmes et confusions qui freinent, obscurcissent, concept, connaissance et reconnaissance des nombres, leurs énonciations et écritures. Sans autre support que leur mémoire pour écritures et calculs, trop d’élèves vivent dans une obscurité numérique « indigne » en effet « d’un pays évolué [43] .

C : comme conclusion, espérée provisoire
Il n’est guère possible de conclure sinon pour déplorer une belle occasion manquée.
On ne peut que redire l’ampleur et l’importance de la mission confiée à Cédric Villani et Charles Torossian. Et il est vrai que la pédagogie n’est qu’une des composantes d’un complexe lourd et difficile à faire évoluer ; mais encore une fois rien ne sera obtenu sans elle.
Alors que dénis, fuites en avant changements de programmes ont occupé la scène tout au long de quatre décennies, maintenant tout est allé trop vite. Il aurait fallu avoir le courage de prendre son temps, de faire “du terrain ”, sans caméras, d’interroger sur place, de ne porter aucun jugement sur les personnes, ni sur les petites ni sur les grandes ; d’analyser cette matière qu’on appelle aujourd’hui « mathématiques », pratiquement inchangée depuis que l’école existe, ne préparant toujours pas au collège ; à progressivement exiger de tous les acteurs, analystes et analysés, et toujours en douceur, car ce serait nouveau, une exigence intellectuelle [44] qui “chapeauterait” tout ce que l’on peut attendre des bienfaits de l’école : un autre regard sur l’erreur, une conscience des composantes épistémologiques du savoir, de ses spécificités, des diverses langues mises en jeu, à utiliser avec rigueur [45] . Ce n’est pas facile, mais faisable, et manifestement fécond [46].

Tant que l’on ne diagnostique que le « mal-être des enseignants » et « les difficultés des élèves », en allant chercher ailleurs ce qui devrait se trouver ici, avec les moyens d’investigation, d’analyse et d’élaboration qui nous sont propres, portés par le génie de notre langue, la miraculeuse potentialité des intelligences d’enfants, l’énergie et le talent de ceux à qui ils sont confiés, qui font le plus beau métier du monde, nous n’aurons pas les résultats que nous sommes en droit et en attente d’obtenir de cette merveille miraculeuse qu’on appelle l’école.
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Pour aller plus loin

Á partir d’expériences dans des écoles (Education nationale, INRP)
[1] Comptes pour petits et grands
- Volume1 Pour un apprentissage du nombre et de la numération fondé sur la langue et le sens 1997 /2003 Magnard
- Volume 2 Pour un apprentissage des opérations, des calculs, et des problèmes, fondés sur la langue et le sens 2003
Préface de Jean-Pierre Kahane.
[2] Mes premières mathématiques CP
Fichier de l’élève et guide du maître Magnard mars 2012
[3] Un autre enseignement des maths en primaire
30 juin 2011, par Stella Baruk et Guillaume Tremblay
Sur le site de Démocratisation scolaire https://www.democratisation-scolaire.fr/
[4] Document web réalisé à partir d’une expérience de deux années en classes de CP,CE1,CE2 autour d’un travail d’équipe avec les enseignants, avec exposés sur la numération, l’erreur, les problèmes.
http://www.reseau-canope.fr/mathematiques-stella-baruk/

Analyse des raisons de l’échec scolaire
[5] Echec et maths Seuil, 1973,
cinq rééditions, en Points-sciences jusqu’en 1999.
[6] L’Âge du capitaine De l’erreur en mathématiques Seuil 1985, réédité en Points-sciences en 1992-1995

Autour de l’Ecole
[7] Si 7=0 Quelles mathématiques pour l’école ? Odile Jacob (mai 2004)
[8] Mathématiques, plaidoyer pour une école première
in L’école en France , Crises, pratiques, perspectives
Sous la direction de Jean-Pierre Terrail La Dispute 2005
[9] Exiger l’exigence intellectuelle autour de Pour une école de l’exigence intellectuelle Changer de paradigme pédagogique de Jean-Pierre Terrail La Dispute 2016 in Le Débat n° 192 novembre décembre 2016
[10] Les chiffres ? Même pas peur ! Aux Presses Universitaires de France (PUF) 2016

Sur la langue des mathématiques
[11]Dictionnaire de mathématiques élémentaires Seuil 1992-1995
Traduit en italien et portugais
[12] Dico de mathématiques Collège-CM2 Seuil 2008
[13]Langue maternelle, langue de savoir : amies ou ennemies ?
Postface in Doubles jeux , fantaisies sur des mots mathématiques par 40 auteurs Seuil 2000
[14] La gardienne des lieux Tangente n° 135 , Editions Pôle 2010
[15] Les trois « langues » de l’enseignement des maths Tangente Education N°38 Décembre 2016
[16] La troisième langue "Mathématiques et langages" Au fil des maths n°528, revue numérique (accès par le site de l’APMEP) - A paraître en juin 2018.

  •  

[1Consultable avec cet intitulé sur Internet. Les citations du rapport ou des circulaires seront entre guillemets français (« … »), parfois suivies pour le rapport du numéro du paragraphe.

[2Une bibliographie “raisonnée” d’ouvrages ou de comptes rendus d’expériences menées dans des écoles permettra à qui le souhaiterait d’approfondir certains des sujets abordés.

[3Charles Laisant (1841-1920) mathématicien, pédagogue, homme politique.

[4BFMTV 12/02/2018 . : Enseignement des mathématiques : la méthode Singapour plébiscitée ; et où il semble déjà acquis qu’ « elle fait partie des propositions du projet Villani », Nice Matin, 09 /02/2018

[5BFMTV 12/02/2018 . : Enseignement des mathématiques : la méthode Singapour plébiscitée

[6Il s’agit en fait de la reproduction de la page 95 du fichier 1 de CP intitulé Maths Méthode Singapour, programmes 2016, La Librairie des Écoles.

[7Il s’agit en fait de la reproduction de la page 95 du fichier 1 de CP intitulé Maths Méthode Singapour, programmes 2016 La Librairie des Ecoles

[8TF1, Journal de 20h du 21/11/2017, une école de Nice.

[9C’est moi qui souligne

[10Manuel de Mathématiques CP méthode de Singapour CP cahier d’exercices A , L.d.E., 2008.

[11J-M Jamet , L’iceberg singapourien : au-delà du visible, comprendre l’excellence singapourienne autrement, 2017 . L’auteur, professeur des Ecoles, a mené une recherche minutieuse sur la façon dont fonctionne le système d’éducation singapourien.

[12Depuis son indépendance en 1965, la République de Singapour dispose d’un Régime dit « Parlementaire monocaméral ».
On peut en savoir plus à https://www.diplomatie.gouv.fr/fr/ Présentation de Singapour.
« Le People’s Action Party (PAP), parti fondé par Lee Kuan Yew en 1954, au pouvoir depuis 1959 y est toujours. Le rôle de l’opposition reste donc faible et le PAP conserve l’essentiel du pouvoir. Le système judiciaire est indépendant. La peine capitale est en vigueur pour meurtres et possession de drogue en grande quantité. Les châtiments corporels (« caning ») sont fréquemment pratiqués (pour les cas de drogue, l’introduction illégale sur le territoire de Singapour et les crimes violents), engendrant des séquelles à vie. Les libertés d’expression, de réunion et d’association sont très encadrées (censure, duopole médiatique contrôlé, permis d’autorisation d’association et de manifestation). »
Mais cela n’empêche pas que 2018 soit l’année de l’innovation France-Singapour, et de nombre de projets communs.

[13J-M. Jamet Art.cit. Il s’agit d’élèves de 4ème grade primaire, et du programme intitulé Math in Focus

[14Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales www.cnrtl.fr

[15C’est comme cela que s’expriment une majorité d’enfants, « méthode de Singapour » y compris .

[16Des travaux cités in Marie-Lise Peltier enseigner les mathématiques à l’école primaire en France. Quelques réflexions pour dénoncer les « clichés ».Bulletin CFEM n°44 Novembre 2017 Les travaux en question montrent qu’avec une grande place données aux « manipulations » « de nombreux élèves de REP ont des résultats inférieurs de plus de 10 points aux résultats des élèves hors REP.

[17Voir (4) , document réalisé par Canopé autour d’un travail d’équipe pour les classes de CP,CE1,CE2.

[18Bulletin Officiel spécial n°3 du 26 avril 2018
Sur les quatre circulaires il en est deux consacrées aux mathématiques (elles seront ici désignées par C1 et C2)
- note de service 2018 – 051 du 25-4-2018 Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l’école primaire (C1)
- note de service 2018 – 052 du 25-4-2018 La résolution de problèmes à l’école élémentaire (C2)

[19Le 4 septembre 2016 Congrès Association Nationale des Conseillers Pédagogiques et Autres Formateurs https://www.youtube.com/watch?v=PKMVD7bD4cE Á quoi sert l’enseignement des mathématiques et comment le faire évoluer

[20Je suppose qu’il voulait dire le « nombre » trois.

[21Après le singulier, et le duel, le “vrai” pluriel.

[22Les enseignants qui utilisent la distinction que je propose entre « nombre », et « nombre-de », me disent avoir constaté que les enfants n’ “additionnent” plus des oranges et des euros ! [[Voir (1),vol.1, (2), (7), (10).

[23Selon l’historien des mathématiques David Eugène Smith in History of Mathematics 2 vol.,New-York, Dover Publications, Inc.,1958 (première éd. 1925) la distinction « abstrait/concret » est purement « pédagogique » et réservée à l’école primaire . Voir pour une analyse détaillée de la question [[(7), chap.VII

[24Le Robert Dictionnaire historique de la langue française . « En psychologie, on a donné le nom de CONCRETUDE n.f. (1951 d’après l’anglais concreteness) à l’inaptitude mentale à élaborer des idées sans
recours à des idées concrètes.

[25C’est ainsi que s’expriment les enfants eux-mêmes aujourd’hui !

[26Voir (5 ), page 286

[27Et il en trouve 400 !Voir (7), p. 168 et suivantes

[28Voir l’analyse du matériel Montessori sur Démocratisation-scolaire.fr Notes de lecture du 16 janvier 2017 à propos Des lois naturelles de l’enfant ? Les Arènes, Paris 2016

[29Mise progressivement en place de 1968 à 1975

[30Enseignant chercheur à l’Université de Grenoble. France Culture 11.12.2017 Comment les petits français sont devenus nuls en maths

[31Lors de la conférence citée plus haut ; voir note 19

[32Imaginez un plan, et que pour aller d’un point A à un point B de ce plan il y ait 3 cm à parcourir dans la « direction » nord-est. Si pour aller de C à D, ce sont les mêmes données, le couple de points ou bipoint (A,B) sera dit équipollent au bipoint (C,D).
Or il y a dans le plan une infinité de bipoints équipollents à (A,B) ou à (C,D) : les données de distance, direction et sens qui leur sont communes (3cm, nord-est) constituent un vecteur, représenté par un point origine ( A ou C, ou des millions d’autres) et un point extrémité (B, ou D ou des millions d’autres). A et B, C et D sont des points, (A,B) (C,D) des couple de points ou bipoints , et (AB) ⃗ , ou (CD) ⃗ une “somme d’informations sur un trajet”, un vecteur (du latin vehere, « porter, transporter », d’où, aussi, « véhicule »).

[33Il y eut des résistances pour accepter « médiatrice » (11 ), « discriminant » etc.

[34Paul Valéry, Le cas Servien, in Pius Servien, Orient, Gallimard 1942. C’est moi qui souligne

[35]voir (6)] . On inventa les énoncés découpés en morceaux à réassembler, ceux à constituer à partir de leurs solutions , les données surabondantes, les données manquantes, les fameux énoncés à inventer…
Toutes choses restées apparemment inefficaces, puisque, comme nous le précise C2 , lors d’une récente évaluation internationale [[La circulaire C2 précise qu’il s’agit de l’évaluation TIMSS 2015 (Trends in international mathematics and science study) qui mesure les résultats des élèves en fin de CM1

[36Voir [ 7], chap.7

[37Académie des sciences Avis sur la place du calcul dans l’enseignement primaire Consultable sur le site de l’Académie ; et Stella Baruk De l’académie des sciences à l’école maternelle Le Débat n°145 mai-août 2007

[38D’autant qu’il s’y glisse une « cinquième », la division euclidienne , qui n’est pas une opération au sens propre, mais qui sème largement la confusion avec la division, n’étant ni nommée ni notée différemme « Nul n’ignore que le problème du partage des bonbons se pose dès l’école maternelle et constitue un apprentissage de la division » lit-on dans l’Avis . Un « partage » de bonbons entre 2 amis est-il de la même nature s’il y en a 8 ou s’il y en a 9 ?

[39Compter Calculer. Cours Préparatoire Cahier d’exercices page 115 GRIP Editions

[40On pourra voir combien, tant du point de vue mathématique, que pédagogique ou “psychologique”, ce choix s’est révélé fécond. [1], vol2

[41En 1790 : « cette variété dont la seule étude épouvante ».

[42Cités note 13, ce seront, Maths CP, m.S, et Maths CE1, m.S.

[43Dans La Dépêche du 12/02/2018, Cédric Villani : « Les déficiences du système sont indignes d’un pays évolué »

[44D’après Jean-Pierre Terrail : voir 9

[45Voir 15, 16.

[46Voir (4), voir aussi 15, 16

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