Le Marquis de Condorcet, nommé par Turgot en 1775 Inspecteur général de la monnaie, se trouve le 11 mars 1776 à Amiens, où l’on songe à édifier un canal souterrain en Picardie [[{Condorcet}, Elisabeth et Robert Badinter, Fayard,1988]]. Il est chargé d’une mission d’expertise sur les canaux.
{{Le Paradoxe de Condorcet: la Démocratie à l’épreuve de la Mathématique}}[[Le Paradoxe n’existe qu’à partir d’un choix entre 3 objets]]
Pour fêter la remise de son rapport au ministre, Condorcet décide de donner un grand souper à soixante de ses amis, à Paris, rue de Seine, dans la maison de sa grande amie, la duchesse d’Enville . Imprégné de la philosophie des Lumières, il tient expressément à ce que le choix du menu soit l’occasion de la mise en application pour la première fois de ses principes démocratiques.
Le Marquis a la possibilité de choisir le plat principal entre les 3 mets suivants :
{{A : Agneau }}
{{B : Brochet }}
{{C : Chevreuil}}
Il demande à ses invités, une semaine avant la date prévue, de lui communiquer trois de leurs préférences par ordre de choix. Il obtient le résultat suivant :
{{23}} préfèrent L’Agneau au Brochet et le Brochet au Chevreuil .
– Il note : A>B>C
{{17}} préfèrent le Brochet au Chevreuil et le Chevreuil à l’Agneau.
– Il note : B>C>A
{{2}} préfèrent le Brochet puis l’Agneau, puis le Chevreuil
– Il note : B>A>C
{{10}} préfèrent le Chevreuil, puis l’Agneau et enfin le Brochet.
– Il note : C>A>B
{{8}} préfèrent le Chevreuil, puis le Brochet et enfin l’Agneau.
– il note : C>B>A
Le marquis de Condorcet, envoie à ses invités le résultat de sa consultation. Conformément à sa philosophie, il choisi évidemment {{la préférence majoritaire}} parmi les 3 préférences exprimées.
C’est donc la première préférence arrivée en tête avec avec {{23}} voix qui retient {{l’Agneau}} en premier suivi du {{Brochet }} puis du {{Chevreuil}}.
Il ordonne aussitôt à son cuisinier de se pourvoir en {{Agneau}} comme il convient.
Mais le jour d’après, son vieux complice, l’abbé Rochon vient le trouver pour lui faire remarquer que {{27}} personnes préfèrent le {{Brochet}} à {{l’Agneau }}, si l’on compare entr
e eux les deux mets arrivés en tête de la première préférence, et si l’on tient compte de l’ensemble des préférences exprimées.
Tout juste reconnaît le Marquis, résignons-nous à faire maigre, même un jour gras, si le peuple en a décidé ainsi. Ce sera donc du {{Brochet}} au souper.
Le jour d’après, madame d’Enville, mise dans la confidence, proteste que c’est le {{Chevreuil}} qui devrait être choisi, car il l’emporte de beaucoup sur l’{{Agneau}} avec {{35}} voix , malgré qu’il reste inférieur au {{Brochet }} (42 voix), si l’on en fait la comparaison.
Elle lui conseille alors en riant, d’abandonner ses billevesées démocratiques qui ne permettent même pas de décider sans contestation du déroulement d’un simple souper.
C’en est trop pour le marquis ,qui saisi d’un violent mal de tête accompagné d’une forte fièvre se voit contraint de s’aliter sur le champ. Il envoie son valet prévenir la duchesse que, placé dans l’incapacité de décider justement, dépité et malade, il s’oblige à annuler son souper.
Le lendemain matin, accourue à son chevet madame d’Enville, au comble de l’inquiétude, le presse de revenir à la raison, d’abandonner ses rêves démocratiques et d’arrêter lui-même l’ordonnance de son repas, comme le ferait toute personne sensée.
Elle ajoute:
« Votre Démocratie des préférences n’attire que désordres. Vous voyez bien que la Mathématique et la Démocratie ne font pas bon ménage. Abandonnez donc l’une pour pouvoir garder l’autre. Vous n’êtes pas en mesure, par cette confrontation d’établir un vainqueur incontesté.
Et remettez-moi sur le champ, Monsieur, ce méchant billet tout chiffonné sur lequel vous avez inscrit les résultats de cette absurde consultation, qui vous oblige à garder la chambre. Vous pourrez ensuite décider à votre gré de l’ordonnance de votre repas, et revenir sur votre décision»
Mais le marquis de rétorquer, en serrant plus fortement dans sa main l’écrit maudit :
“Laissez Madame, je m’en tiens à mon premier mouvement. Je ne puis songer à festoyer avec mes amis tant que la Mathématique” [[Dans les comparaisons majoritaires par paires, on obtient :
33 préfèrent Agneau > Brochet contre 27 pour Brochet > Agneau
42 préfèrent Brochet> Chevreuil contre 18 pour Chevreuil > Brochet
35 préfèrent Chevreuil > Agneau contre 25 pour Agneau > Chevreuil
Ce qui conduit à la contradiction interne Agneau > Brochet > Chevreuil> Agneau .}},.]] se disputera avec la Démocratie. Ce serait laisser Platon se quereller avec Périclès. Je ne puis choisir entre les deux et abandonner une amitié pour l’un au profit de l’autre.
Je vais si vous le permettez, conserver par devers moi ce fatal écrit qui témoigne aujourd’hui de la honte dans lequel il me plonge, mais qui pourra peut-être demain embellir ma renommée. [[ Voir l’essai du marquis de Condorcet paru en 1785: “{La probabilité des décisions qui se forent à la pluralité des voix}”.} ]].
Et je vais chercher, sans plus tarder, de quelle manière un vainqueur pourrait l’emporter sur ses rivaux grâce à un vote incontestable[[Voir “{{Le Vainqueur de Condorce}}t”. Pour l’emporter sans contestation il est nécessaire d’utiliser la {{méthode de Condorcet}}: procéder à tous les duels par paires: dans l’exemple cité, il y en a 6, et il faut que l’Agneau sorte vainqueur séparément du Brochet et du Chevreuil. Si aucun candidat ne gagne, on se retrouve dans le cas paradoxal évoqué plus haut.
{{D’autre part la probabilité de rencontrer le paradoxe de Condorcet augmente avec le nombre d’objets à choisir:}}
elle est de 8,57% pour 3 objets et de 48,87% avec 10 objets
Voir aussi le théorème d’impossibilité d’Arrow qui montre qu’il n’existe aucune procédure de décision collective qui puisse satisfaire aux 4 conditions assez raisonnables qu’il énonce.
]]
